LLIÇÓ 1. Espais mètrics i topològics

• Espais mètrics. Exemples. Boles. Conjunts oberts i tancats
• Mètriques equivalents. Conjunts oberts i tancats.
• La topologia d'un espai mètric. 
• Espais topològics.

LLIÇÓ 2. Primeres propietats topològiques. Construcció de espais topològics.

• Transformacions entre espais mètrics i topològics: continuitat i continuitat uniforme, isometries, homeomorfismes.
•  Subespais topològics: topologia induïda.
•  Adherència, interior i frontera relativa.
• Producte d'espais topològics: topologia producte.
  
• L'espai quocient.

LLIÇÓ 3. Compacitat.

• Definició. Exemples. Propietats.
• Subespais compactes.
• Continuïtat i compacitat.
• Espais mètrics compactes.
• Producte d'espais compacts.

LLIÇÓ 5. La teoria local de corbes en el pla i en l'espai.

•  Introducció
•  Corbes parametritzades regulars. Longitud d'arc.
•  Teoria local de corbes planes.
•  Teoria local de corbes en l'espai. El triedre de Frênet.
•  Aplicacions al CAGD: Curvatura dels splines de Bèzier.
•  Aplicacions a la robòtica: Deformació d'objectes lineals.
   

LLIÇÓ 6. La teoria global de corbes.

•  Introducció
•  El teorema dels quatre vèrtexs.
•  La fórmula de Cauchy-Crofton.
•  Aplicacions a la robòtica: "Grasping" - Agafada robòtica.

LLIÇÓ 7. Superfícies regulars en l'espai.

• Introducció
•  Definició de superfície regular en l'espai euclidià tridimensional. Formes de representar les superfícies.
•  El pla tangent. La diferencial d'una aplicació entre superfícies.
•  La primera forma fonamental.
   

LLIÇÓ 8. Teoria local de superfícies. Geometria de l'aplicació de Gauss.

•  Introducció.
•  Camps normals. Orientació.
•  Aplicació de Gauss i segona forma fonamental.
•  Funció altura i segona forma fonamental.
•  Superfícies reglades i minimals.
•  Aplicacions al CAGD: Superfícies de Bézier
•  Aplicacions a la robòtica: Manipuladors robòtics.
   

LLIÇÓ 9. Teoria local de superfícies. Geometria de la primera forma fonamental.

•  Introducció.
•  Moviments rígids i isometries
•  El teorema de Gauss
•  Geodèsiques
•  L'aplicació exponencial. Coordenades geodèsiques polars. Entorns convexos.
   

LLIÇÓ 10. Introducció a la teoria de varietats i a la teoria dels grups de Lie.

•  Introducció.
•  Superfícies abstractes.
•  Varietats diferenciables.
•  Grups de Lie i les àlgebres associades.
•  Homomorfismes entre grups de Lie. L'aplicació exponencial.
•  Representació adjunta.