SIA. Sistema d'Informació Acadèmica

Esteu accedint a un curs acadèmic que no està actiu. La informació no correspon al curs acadèmic actual.

MT1027 - Geometria Diferencial i Topologia

Curs 3 - Semestre 1

Temari

Temari

LLIÇÓ 1. Espais mètrics i espais topològics.

  • Espais mètrics. Exemples. Boles. Conjunts oberts i tancats
  • Mètriques equivalents. 
  • Espais topològics. Definicions i exemples.
  • Entorns i tancats.
  • El primer axioma de numerabilitat i la condició de Hausdorff.
  • Continuïtat

LLIÇÓ 2. Construcció de espais topològics.

  •  Subespais topològics: topologia induïda.
  •  Adherència, interior i frontera relativa.
  •  Continuïtat i subespais.
  • Producte d'espais topològics: topologia producte.
  • Adherència, interior i frontera d'un producte

LLIÇÓ 3. Compacitat.

  • Definició. Exemples. Propietats.
  • Subespais compactes.
  • Continuïtat i compacitat.
  • Espais mètrics compactes.
  • Producte d'espais compacts.
LLIÇÓ 4. Connexió.
  •  Connexió. Propietats.
  •  Subespais connexos.
  •  Components connexes.
  •  Connexió per arcs.
  • Producte d'espais connexos.

LLIÇÓ 5. La teoria local de corbes en el pla i en l'espai.

  •  Introducció
  •  Corbes parametritzades regulars. Longitud d'arc.
  •  Teoria local de corbes planes.
  •  Teoria local de corbes en l'espai. El triedre de Frênet.
  •  Aplicacions al CAGD: Curvatura dels splines de Bèzier.
  •  Aplicacions a la robòtica: Deformació d'objectes lineals.
     

LLIÇÓ 6. La teoria global de corbes.

  •  Introducció
  •  El teorema dels quatre vèrtexs.
  •  La fórmula de Cauchy-Crofton.
  •  Aplicacions a la robòtica: "Grasping" - Agafada robòtica.

LLIÇÓ 7. Superfícies regulars en l'espai.

  • Introducció
  •  Definició de superfície regular en l'espai euclidià tridimensional. Formes de representar les superfícies.
  •  El pla tangent. La diferencial d'una aplicació entre superfícies.
  •  La primera forma fonamental.
     

LLIÇÓ 8. Teoria local de superfícies. Geometria de l'aplicació de Gauss.

  •  Introducció.
  •  Camps normals. Orientació.
  •  Aplicació de Gauss i segona forma fonamental.
  •  Funció altura i segona forma fonamental.
  •  Superfícies reglades i minimals.
  •  Aplicacions al CAGD: Superfícies de Bézier
  •  Aplicacions a la robòtica: Manipuladors robòtics.
     

LLIÇÓ 9. Teoria local de superfícies. Geometria de la primera forma fonamental.

  •  Introducció.
  •  Moviments rígids i isometries
  •  El teorema de Gauss
  •  Geodèsiques
  •  L'aplicació exponencial. Coordenades geodèsiques polars. Entorns convexos.
     

LLIÇÓ 10. Introducció a la teoria de varietats i a la teoria dels grups de Lie.

  •  Introducció.
  •  Superfícies abstractes.
  •  Varietats diferenciables.
  •  Grups de Lie i les àlgebres associades.
  •  Homomorfismes entre grups de Lie. L'aplicació exponencial.
  •  Representació adjunta.
Universitat Jaume I CIF: Q-6250003-H Av. Vicent Sos Baynat, s/n 12071 Castelló de la Plana, Espanya
Tel.: +34 964 72 80 00 Fax: +34 964 72 90 16