SIA. Sistema d'Informació Acadèmica

MT1032 - Anàlisi Complexa i de Fourier

Curs 4 - Semestre 1

Temari

Temari

1. FUNCIONS DE VARIABLE COMPLEXA

Nombres complexos i operacions amb nombres complexos. Límit d'una successió de nombres complexos. Funcions d'una variable complexa: continuïtat. Exemples: elecció contínua de l'argument d'un nombre complex. Definició de funció derivable i exemples. Equacions de Cauchy-Riemann. Funció holomorfa: propietats elementals, significat geomètric de la derivada d'una funció de variable complexa. Exemples: funció exponencial. Funcions analítiques complexes: exemples. Derivada d'una funció analítica. Una caracterització de les funcions analítiques. Relació entre els conceptes de funció analítica real i funció analítica complexa.

2. RESULTATS FONAMENTALS SOBRE FUNCIONS HOLOMORFES 

Integral d'una funció a valors complexos sobre una corba. Propietats i relació amb les integrals d'1-formes diferencials. Expressió de la integral d'una funció contínua sobre una corba de classe C^1 a trossos. Integral d'una funció holomorfa sobre el contorn d'un rectangle. Teorema de Cauchy-Goursat. Primitiva d'una funció holomorfa. Exemples: funció logaritme, potències d'un nombre complex. Funció índex: propietats. Fórmula integral de Cauchy en un domini simplement connex. Fórmula integral de Cauchy per a la frontera orientada d'un domini compacte. Principi del mòdul màxim.

3. DESENVOLUPAMENTS EN SÈRIE I SINGULARITATS

Integració terme a terme d'una sèrie de funcions holomorfes uniformement convergent. Desenvolupament en sèrie de potències d'una funció holomorfa: tota funció holomorfa és analítica complexa. Exemples. Teorema de Morera. Teorema de Cauchy-Liouville: teorema fonamental de l'Àlgebra. Teorema de Weierstrass sobre la derivació d'una sèrie de funcions holomorfes. Ordre dels zeros d'una funció holomorfa. Singularitats: singularitats evitables, teorema de caracterització. Teorema de Casorati-Weierstrass: classificació de les singularitats. Desenvolupament en sèrie de Laurent d'una funció holomorfa en una corona: unicitat del desenvolupament. Desigualtat de Cauchy. Classificació de les singularitats a partir del desenvolupament en sèrie de Laurent. Funcions meromorfes.

4. TEOREMA DELS RESIDUS I APLICACIONS

Teorema dels residus. Nombre de zeros i de pols tancats en la vora orientada d'un compacte. Teorema de Rouché. Singularitats: funció regular. Teorema de Merey. Comportament d'una funció holomorfa en l'entorn d'un punt. Teorema de l'aplicació oberta. Teorema de la funció inversa. Principi del mòdul màxim. Càlcul dels residus en els pols. Avaluació d'integrals mitjançant el teorema dels residus. Aplicació del teorema dels residus a la suma de sèries.

5. SÈRIES DE FOURIER

Introducció i plantejament del problema. Coeficients de Fourier d'una funció integrable. Espais C ([0, 1]) i L_p ([0, 1]). Densitat dels polinomis trigonomètrics en els espais anteriors. Càlcul dels coeficients d'una sèrie trigonomètrica. Sèrie de Fourier associada a una funció integrable. Transformada de Fourier. Tota sèrie trigonomètrica convergent en els espais C ([0, 1]) i L_p ([0, 1]) és la mateixa sèrie de Fourier. Propietats de la transformada de Fourier: aplicació a funcions, la sèrie de Fourier de les quals convergeix uniformement. Exemples: algunes sèries especials. Lema de Riemann-Lebesgue. Un criteri de convergència puntual: criteri de Dini. Propietats de les sèries de Fourier: integració i derivació terme a terme d'una sèrie de Fourier. Alguns exemples. Acotació dels coeficients d'una sèrie de Fourier. L'espai de Hilbert L_2 ([0, 1]). El sistema ortonormal trigonomètric. Sèrie de Fourier d'una funció en L_2 ([0, 1]). Desigualtat de Bessel. El sistema ortonormal de les funcions trigonomètriques és complet: identitat de Parseval. Altres formes de les sèries de Fourier. Funcions parelles i imparelles.

6. CONVERGÈNCIA DE LES SÈRIES DE FOURIER

Una generalització del lema de Riemann-Lebesgue. Nucli de Dirichlet: aplicació a la representació de les sumes parcials d'una sèrie de Fourier. Principi de localització de Riemann-Lebesgue. Teorema de caracterització de la convergència uniforme d'una sèrie de Fourier. Criteri de Dini. Criteri de Dirichlet-Jordan per a la convergència puntual i uniforme: relació entre els criteris de Dini i Dirichlet-Jordan. Una condició suficient perquè una sèrie trigonomètrica siga de Fourier. Existència de funcions contínues, de les quals la sèrie de Fourier divergeix: exemple de Fejér. Exemple d'una funció en L ([0, 1]) en la qual la sèrie de Fourier no convergeix en la norma de L ([0, 1])). Creixement de les sumes parcials d'una sèrie de Fourier. Teorema de Lebesgue sobre l'acotació de les sumes parcials d'una sèrie de Fourier d'una funció de variació acotada. Fenomen de Gibbs.

7. PROBLEMA DE DIRICHLET EN EL DISC

Funcions harmòniques: definició i exemples. Propietat del valor mitjà per a funcions harmòniques. Principi del valor màxim en un disc. Solució al problema de Dirichlet en un disc. Caracterització de les funcions harmòniques reals per ser localment la part real d'una funció holomorfa. Principi del valor màxim en un domini connex. Caracterització de les funcions harmòniques com a les funcions que tenen la propietat del valor mitjà.

8. LA INTEGRAL DE FOURIER

Convolució de funcions: propietats. Transformada de Fourier d'una funció de L (R): propietats i exemples. Relació entre la transformada de Fourier i el producte de convolució. Fórmula d'inversió. Criteris de Dini i Jordan. Definició de les mitjanes de Cesaro. Nucli de Fejér: expressió de les mitjanes de Cesaro utilitzant el nucli de Fejér. Propietats del nucli de Fejér. Fórmula d'inversió per a les mitjanes de Cesaro: aplicació a les funcions, la transformada de les quals està en L (R). Convergència de les mitjanes de Cesaro en la L-norma. Definició de les mitjanes d'Abel. Nucli de Poisson: aplicació a l'expressió de les mitjanes d'Abel-Poisson. Fórmules d'inversió per a les mitjanes d'Abel-Poisson. Solució al problema de Dirichlet en un semiplà.

9. TEOREMA DE PLANCHEREL

Transformada de Fourier en L (R). Teorema de Plancherel. Fórmula d'inversió quan la transformada pertany a  L (R). Completesa de les funcions trigonomètriques, Hermite i Laguerre. Càlcul d'integrals. Solució a l'equació de les cordes vibrants i l'equació de la distribució de la calor en una vareta de longitud finita. Solució a l'equació de la distribució de la calor en una vareta de longitud infinita. Teorema de Cantor-Lebesgue. Derivada segona generalitzada: teorema de Schwarz. Primer teorema de Riemann. Teorema de Heine-Cantor sobre la unicitat del desenvolupament en sèries trigonomètriques. Un exemple d'una sèrie trigonomètrica, de la qual les mitjanes de Cesaro convergeixen a zero sense tindre tots els coeficients nuls.

Universitat Jaume I CIF: Q-6250003-H Av. Vicent Sos Baynat, s/n 12071 Castelló de la Plana, Espanya
Tel.: +34 964 72 80 00 Fax: +34 964 72 90 16